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Part.3は「数ⅡB」の途中から!
あ、Part.1間違って消しちゃったみたいなんですが、直すのも今更なんでちゃんとした解説を改めて載せます。
(※携帯表示だと途中の式が出ないかもしれません、あらかじめご了承下さい)



第1問の〔2〕は「三角関数」。

二倍角の公式やら何やらのフル活用をしないといけない問題です。
最後がちょっと難しかったかもしれませんが全体的にスムーズな流れになっています。

0 < θ < π/2 の範囲での sin4θ = cosθ …① を解く問題。
勿論4倍角の公式(?)なんて使いませんから不安にならないように。

取りあえずまずはcosをsinに直して両辺ともsinにしてしまいましょう。
0 < θ < π/2 (0°~90°)の範囲なのであの公式を使います。


最初の答えの式は θ ではなく でしたけども。

なので最初の式①は sin4θ = sin(π/2 - θ) になります。
つまり 4θπ/2 - θ が同じならOK、そう思ってイコールで結ぶだけだと失敗します。
三角関数はとられる範囲によっては同じ値が幾つも出てくる(例: sinπ/6 = sin5/6π = sin13/6π = ...)ので答えは一つとは限りません。
誘導にもある通り、0 < θ < π/2 の範囲で決まります。
-1<sin4θ<1 かつ 0<sin(π/2 - θ)<1 なので、この2つの値は2回一致することになります(下図参照)。

sin4θ は緑の値を2度とり、sin(π/2 - θは緑の値を1度だけとるので、組み合わせは2×1=2通り。
なので 4θ = π/2 - θ か 4θ = π - (π/2 - θ) のどちらかを満たせばOKです。
(この辺ピンと来なかったら取りあえず誘導に乗ってみましょう)
それぞれを解いてあげると θ = π/6 または θ = π/10 が出てきます。

続いて sinπ/10の値を求めに行きますが、ここでセンターならではの誘導がかかります。
最初の①の式に戻って──




と突き進みます(赤文字が x になったり θ になったりしたのはミスです)。

両辺に cosθ がありますが、cosθ は0 < θ < π/2 の範囲では cosθ >0 なので両辺割れます。
0になる可能性がある時は割ってはいけません! 例えば 4×0 = 5×0 を両辺0で割ったりすると 4=5 となっておかしくなってしまいます)
cosθ で割ってから左辺に整理すると、 8sin3θ - 4sinθ + 1 = 0 ……② が出てきます。

後はこれを因数分解すれば良いんですが、ここで先程のもう一つの解である θ = π/6 が役に立ちます。
sinπ/6 = 1/2が①の式で既に成り立っているので、②の式の解の一つが sinθ = 1/2 (⇔ sinθ - 1/2 = 0 ⇔ 2sinθ - 1 = 0) になります。
つまり②を因数分解すると (2sinθ - 1)  が因数として登場する、という訳です!
※解が一つだけ分かっている時にこの考え方は有効です

それを踏まえて②を因数分解しますと──

ここで、sinθ1/2 であるので、

となります。

後はこれを解の公式で解けば θ = π/10 の時の答えが出てくる訳です。
答えは二つ出てきますが、sinπ/10 > 0 なので──

が答えになります。

解の公式は

がスタンダードですけど、bが2の倍数の時は──

の方が慣れると使い勝手が宜しいですよー。





とんでもなく長くなりましたが以上で第1問〔2〕の三角関数の解説を終わりますー!

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餅 雅李音(ガーリィ)
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誕生日:
1989/06/07
職業:
大学院生
趣味:
ポケモン、恐竜、将棋、麻雀、      絵描き、小説書き             (※創作全般に興味あり)
自己紹介:
ひたすら Going my way な道産子で関東圏の古生物専攻大学院生。
日本で数少ない地学系統に入る為に1年を平気で棒に振るようなお馬鹿さん。
将来の夢は古生物学者兼小説家。
平凡な人生を嫌う、My pace な駄犬。最近ドラゴン。
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